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"Entre ordre et désordre", vu par son créateur

Par Jean-Marc Castera, artiste et mathématicien

 

Cette œuvre a été créée pour l’exposition permanente « Sous l’angle des quasi-cristaux », qui était dédiée aux quasi-cristaux et à leurs applications dans l’art et l’architecture. Elle a ouvert ses portes en décembre 2009, avant d'être intégrée à l'exposition "Symétries" en février 2013. Le physicien Denis Gratias, l’un des plus éminents théoriciens des quasi-cristaux, était responsable de l’aspect purement scientifique, alors que j’étais l’artiste de la troupe. Nous avons souhaité que cet espace soit entièrement articulé autour d'un motif quasi-cristallin unique, visible à différentes échelles et créé à partir de la méthode d’inflation d'Ammann-Beenker. Il recouvre deux murs adjacents et le sol de manière continue.

Les murs et le sol

Le motif est constitué de carrés et de losanges, tous les angles étant des multiples de 45°. Sur le plan, on devine les six niveaux d’inflation : la ligne en pointillés délimite le premier niveau et les lignes les plus petites sont celles du niveau 6. Trois panneaux (A, B et C sur le plan) illustrent trois liens entre les quasi-cristaux et l’art traditionnel géométrique arabe : au niveau de la structure d’ensemble d'un motif de zellij (mosaïque en céramique), au niveau de ses formes individuelles, et dans les structures en muqarnas.

Trois panneaux (image avec légende)
© Jean-Marc Castera

Panneau A : Squelette

Ce panneau met en avant le premier lien entre art traditionnel géométrique arabe et quasi-cristaux qui est apparu dans nos travaux. Généralement, les motifs de zellij appartenant à la famille dite "octogonale" (car on y voit des octogones étoilés ou des étoiles à 8 branches partout), sont construits à partir d'une structure globale que nous appelons le "squelette". Celui-ci s'appuie sur un réseau de carrés et de losanges de côtés égaux, analogue à un pavage de Ammann.

(image avec légende)
© Jean-Marc Castera
  • À gauche : un motif de la famille octogonale.
  • À droite : son squelette, qui s'appuie sur le réseau quasi-cristallin de la fresque (niveau 6). Plusieurs motifs peuvent être créés à partir du même squelette.

 

Panneau B : Autosimilarité

Ce motif s'appuie lui aussi sur le niveau 6 du réseau de la fresque. Il exprime deux idées, qui sont liées.

  • Autosimilarité : dessinée d'un trait nu ou bien avec des entrelacs, chaque pièce peut être décomposée en pièces similaires à une échelle plus petite.
  • Lien avec les quasi-cristaux octogonaux : chaque pièce peut aussi être décomposée en carrés et losanges, l'ensemble devenant une portion de quasi-cristal octogonal. Même habillé d'entrelacs le motif possède cette propriété.
(image avec légende)
© Jean-Marc Castera
  • (1) Dessin initial du zellij
  • (2) Subdivision des pièces en carrés, losanges et demi-carrés.
  • (3) Ajout d'entrelacs et nouvelle subdivision du motif en losanges et carrés plus petits (2e niveau du zellij).
  • (4) Et l'on retrouve le dessin initial à échelle réduite.

 

Les transformations en jeu dans ce panneau sont définies par la figure ci-dessous :

(image avec légende)
© Jean-Marc Castera
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  • Autosimilarité  (flèche noire colonne 1) : on voit dans cet exemple une pièce de zellij décomposée en un ensemble de pièces de zellij à plus petite échelle. Après avoir défini ce type de décomposition pour chaque pièce utilisée, de manière à ce qu'elles se raccordent entre elles correctement, on obtiendra un nouveau motif, fait de pièces plus petites que l'on pourra décomposer à leur tour en pièces encore plus petites, et ainsi de suite... à l'infini.
  • Lien avec les quasi-cristaux octogonaux (flèches rouges entre les colonnes 1 et 2) : toutes les pièces figurant dans ce motif peuvent aussi être décomposées en carrés, losanges et demi-carrés, de telle manière que lorsqu’elles sont assemblées correctement, chaque demi-carré trouve son frère. On voit ainsi apparaître un pavage ne comprenant plus que des carrés et des losanges. En haut, la transformation est appliquée à une seule pièce. En bas, elle est appliquée à toutes les pièces en modèle réduit qui composent cette  pièce. 

 

Ce procédé nous amène à définir une nouvelle règle d'inflation du pavage carré/losanges, différente de celle utilisée pour la fresque. Nous voyons à droite la transformation des losanges, et laissons au lecteur le plaisir de trouver lui-même une transformation compatible pour les carrés. (Cependant, les choses se compliqueraient si l'on voulait assurer la compatibilité de cette transformation avec l'auto-similarité des pièces de zellij...)

 

Panneau C : Muqarnas

Les muqarnas, ou stalactites, sont des structures 3D à l’apparence complexe utilisées dans l'architecture traditionnelle arabe en frises, encorbellements ou arcades, l’application la plus spectaculaire étant l'habillage des coupoles. Ils sont généralement constitués de modules en bois ou en plâtre. Notre dessin n'utilise que les quatre modules principaux, l'ensemble s'appuyant sur la même structure quasi-cristalline que les deux autres panneaux. Nous l'avons doublé pour pouvoir en apprécier le relief (principe de stéréographie) : les internautes sont encouragés à regarder le dessin en louchant jusqu'à ce que les deux centres se rejoignent, et que s'ouvre la porte de la troisième dimension.

  • 1. Dessin initial
  • 2. Subdivision des pièces en carrés, losanges et demi-carrés.
  • 3. Ajout d'entrelacs et nouvelle subdivision du motif en losanges et carrés plus petits.
  • 4. Et l'on retrouve le dessin initial à échelle réduite.

 

Les transformations en jeu dans ce panneau sont définies par la figure ci-dessous :

(image avec légende)
© Jean-Marc Castera

Ce dessin montre le processus de création du motif ci-dessus.

  • 1. Structure originale en carrés et losanges, de type quasi-cristal octogonal.
  • 2. Orientation des bords.
  • 3. Division des carrés en triangles.
  • 4. Code standard pour les éléments de muqarnas (chaque point représente un "pied" du module).
  • 5. Visualisation 3D.

De multiples solutions sont possibles à partir d'une même base.

 

Pour finir...

Il y a plusieurs manières de concevoir le pavage d'Ammann-Beenker qui est à la base de la fresque. En voici une qui évite d'utiliser, même provisoirement, des demi-carrés. Notre pavage peut en effet être vu comme un puzzle formé de deux types de pièces (en rose et vert sur le dessin), constituées de carrés et de losanges. Mais il faut pour cela s'imposer des règles de construction précises pour être sûrs que le résultat aura bien les propriétés désirées.

(image avec légende)
© Jean-Marc Castera