Montre-moi des théorèmes

Les origines des mathématiques se perdent dans la nuit des temps : architectes, commerçants, ou autres corporations, ont découvert très tôt, chacun dans ses domaines, des résultats mathématiques, des techniques, des recettes qu’ils se transmettaient oralement.

Les témoignages écrits les plus anciens dont on dispose (tablettes d’argile à Babylone, papyrus égyptiens) datent d’environ 2000 ans avant J-C et font déjà état de résultats assez sophistiqués. Ainsi la tablette Plimpton 322, conservée à l’Université de Columbia donne une liste de 15 triangles « pythagoriciens », c’est-à-dire des triangles rectangles dont les trois côtés sont entiers : (3, 4, 5) ou (65, 72, 97) par exemple, ce qui montre que les Babyloniens, plus de 1000 ans avant Pythagore, connaissaient déjà "son" théorème (au moins dans certains cas) !

Cependant, les textes disponibles ne donnent aucune justification, pas la moindre démonstration que les résultats sont justes (quand ils le sont !), ni d'indication permettant de savoir comment ils ont été découverts. La notion de démonstration est due aux Grecs (environ 300 av J-C) et est systématiquement utilisée dans les Éléments d’Euclide : après Euclide il ne suffit plus de découvrir des résultats mathématiques, ce qui est évidemment très important, et éventuellement de s'en servir, il faut de plus donner une démonstration, une preuve qui explique au reste du monde que le résultat découvert est vrai. On obtient alors un théorème. (Un énoncé sans démonstration est une conjecture.)

Il existe souvent plusieurs façons, reposant sur des idées différentes, de démontrer un même résultat. De plus, la longueur d'une démonstration est variable — certaines prennent plusieurs centaines de pages — le nombre d'arguments utilisés aussi, et sa rédaction précise peut être longue et difficile. Cependant, dans certains cas, le ressort de la démonstration est très simple et visuel : c'est le cas dans les exemples qui suivent, où nous montrons seulement l'idée qui sous-tend une démonstration possible. Si l'envie lui prend, le visiteur pourra transformer cette idée en démonstration rédigée.

 

 

Planter des choux…

Savez-vous planter les choux à la mode de chez nous ? Il faut les disposer de façon telle qu'un bricou qui en mangerait deux pourra toujours en manger un troisième aligné avec les deux premiers. Et peu importe lesquels il choisit en premier !

Sous forme plus géométrique, c'est un problème dû à J. J. Sylvester (Londres 1814 - Oxford 1897) : on cherche un ensemble de points tel que pour chaque choix de deux d'entre eux, il en existe au moins un troisième qui soit aligné avec ces deux-là.

 On peut choisir des points sur une droite. Trop facile, mais ça marche. Désormais on refuse le cas d'ensembles de points tous alignés.

Il existe des solutions coûteuses : prenez comme ensemble de points trois droites parallèles. Si on choisit deux points sur une de ces droites, on a l'embarras du choix concernant le troisième point : n'importe lequel des autres points de cette droite conviendra. Sinon, on choisit deux points : l'un est sur une des trois droites, l'autre sur une deuxième ; ensemble, ils déterminent une droite qui coupe la troisième en un point qui est forcément aligné avec eux.

L'ensemble constitué de ces trois droites parallèles est donc une solution du problème, mais c'est une solution coûteuse (en points, ou en choux) et on aimerait bien trouver une solution avec le moins de points possible ...

Deuxième essai : à la manière d'un jardinier, disposons nos choux de façon régulière, sur un réseau à base d'alignements dans deux directions perpendiculaires, comme sur le dessin ci-contre.

Chaque chou sera placé en un point d'intersection de deux de ces droites. Prenons tous les points d'intersection de ces droites deux à deux : on obtient bien une solution, mais toujours trop coûteuse (pas autant que la précédente, cependant).

Alors ... est-ce qu'on peut trouver une solution avec ... pas trop de points, disons des points en nombre fini ? Supposons que oui : on aurait un ensemble fini de points du plan, pas tous alignés, mais tels que si on en choisit deux, il y en a un troisième, qui est aligné avec eux.

Traçons toutes les droites déterminées par deux de ces points. Il y en a beaucoup, d'accord, mais toujours un nombre fini. Pour chaque point, on note la distance qui le sépare de toutes les droites sur lesquelles il ne se trouve pas. Cela fait encore beaucoup de nombres, tous strictement positifs, et il n'y en a qu'un nombre fini, même si ce nombre est grand.

Dans toutes ces distances, il y en a donc une qui est la plus petite : soit M et (D) un point et une droite correspondant à cette plus petite distance. Soit H le pied de la hauteur issue de M vers (D) : la distance de M à (D) est MH. (D) est une droite qui passe par deux points de l'ensemble initial, donc en fait elle passe par trois de ces points (au moins) qu'on va appeler A, B, C de sorte que les points se suivent sur la droite (D) dans l'ordre A, H, B, C (par exemple).
 
M et C sont deux points de l'ensemble, et la distance de B à la droite (MC) est bien sûr plus petite que MH qui devait être la plus courte des distances d'un des points à l'une des droites. D'avoir supposé que l'ensemble initial est fini nous a conduit à l'existence d'une longueur MH plus courte que les autres puis à une distance plus courte que MH : cette contradiction nous oblige à rejeter la possibilité que l'ensemble soit fini.

Est sous-entendu depuis le début le fait qu'on se pose le problème dans le plan. A la surface de la terre, pourtant, c'est très simple, les alignements se faisant le long des grands cercles. Trois points formant un triangle, et les trois points qui leur sont diamétralement opposés donnent un exemple de façon de planter six choux. (On n'a d'ailleurs pas besoin de tous ces points.)

Conclusion : si le problème de Sylvester a bien une solution avec un nombre fini de choux sur la sphère, il n'en est pas de même dans le plan, où il nous faut une infinité de choux !

 

 

Autour du nombre π

(image avec légende)
Pi Island : Credits / fdecomite

La longue histoire du nombre π commence bien avant qu'Euler ne rende populaire cette notation (due à William Jones en 1706), et même bien avant que π (rapport du périmètre au diamètre d'un cercle) ne soit considéré comme un nombre.

La quête du nombre π et de ses décimales accompagne toute l'histoire des nombres et de la compréhension des nombres entiers, décimaux, rationnels, irrationnels, algébriques, transcendants.

 

π a-t-il un nombre fini de décimales ou une infinité ? Sont-elles périodiques ?

Un nombre qui a un nombre fini de décimales est appelé... décimal. Il est alors forcément rationnel, c'est-à-dire qu'il  peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers. En effet, il suffit de le multiplier par la bonne puissance de 10 (10 ou 100 ou 1 000 ou 10 000 ou ...) pour décaler suffisamment la virgule et obtenir un nombre entier. Ainsi 3,14 x 100 = 314 donc 3,14 = 314/100.

L'écriture décimale d'un nombre rationnel a/b s'obtient en effectuant la division de a par b : il n'y a que b restes possibles (entre 0 et b-1) et l'opération s'arrête ou se reproduit indéfiniment. Donc un nombre rationnel a nécessairement une écriture décimale périodique. Ainsi 22/7 = 3,142857142857142857... a une période de longueur 6 : 142857.

A l'inverse, un nombre qui possède une écriture décimale périodique est nécessairement un nombre rationnel : en voici des exemples...

0,123123123123... = x ; 1000 x = 123,123123123123... = 123 + x donc x = 123/999 = 41/333.

0,99999... = x ; 10 x = 9,99999... = 9 + x donc x = 9/9 = 1 ; étonnant, non ? 0,99999... est ce qu'on appelle un développement impropre du nombre 1 (alors que 1,00000... est son développement propre).

Jean-Henri Lambert démontre en 1761 (par l'absurde) que π est un nombre irrationnel : il a donc une infinité de décimales, qui ne sont pas périodiques.

 

Si π n'est pas rationnel, peut-on au moins l'obtenir comme solution d'une équation pas trop compliquée ?

C'est le fameux problème de "la quadrature du cercle" : peut-on construire un segment de longueur π à la règle et au compas ? La reformulation du problème aboutit à la question "π est-il solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers" (ce qu'on appelle un nombre algébrique) ? La réponse est non : il fait partie de ce qu'on appelle "les nombres transcendants".

C'est sur lui que les mathématiciens s'acharnèrent à démontrer la transcendance, mais ce n'est pas le premier nombre transcendant à avoir été trouvé : il s'agit du nombre e, confirmé comme nombre irrationnel, puis transcendant, avant π. e est "la base" des logarithmes népériens (fonction au programme de la classe de terminale). On a donc ln e = 1. On peut aussi le définir comme la somme de la série 1/n!, ce qui permet de montrer qu'il n'est pas rationnel. Il est transcendant comme π et bien d'autres, comme le montre Cantor (1874) dont le résultat peut surprendre : "presque tous les nombres, définis par leur écriture décimale, sont transcendants."

π n'est donc pas une exception : c'est la règle générale ! Ce sont les nombres entiers, les nombres décimaux, finalement ceux qu'on a l'impression de bien connaître, qui sont les exceptions !


Sur le même thème, d'autres questions soulevées par les panneaux de la salle π :

* Qu'est-ce qu'une valeur exacte, une valeur approchée, un encadrement d'un nombre ?

* Qu'est-ce que le développement décimal / le développement en binaire d'un nombre réel ?

* Qu'est-ce que i ?

* Les décimales de pi sont-elles aléatoires ? Qu'est-ce que ça signifierait ?

 

 

Les suites logiques

Par quel nombre faut-il compléter la suite "logique" : 1, 2, 4, ... ?

Par 7 ? Bravo ! On obtient alors 1, 2, 4, 7, soit le début de la suite du nombre maximum de régions du plan découpées par des droites.

Par 8 ? C'est possible aussi...

On obtiendrait 1, 2, 4, 8, où chaque nombre est obtenu en multipliant le précédent par 2.

 

Par quel nombre faut-il compléter la suite "logique" 1, 2, 4, 8, ... ?

Par 14 ? On obtient 1, 2, 4, 8, 14, le début de la suite du nombre maximum de régions du plan découpées par des cercles.

Par 16 ? C'est possible aussi. On obtiendrait 1, 2, 4, 8, 16 où, de nouveau, chaque nombre est obtenu en multipliant le précédent par 2.

 

 

Par quel nombre faut-il compléter la suite "logique" 1, 2, 4, 8, 16, ... ?

Par 31 ? Bravo ! On obtient 1, 2, 4, 8, 16, 31 qui nous donne le nombre maximum de régions du disque découpées par des cordes (segments joignant deux à deux des points du cercle).

 Par 32 ? Cela marche aussi !

On obtiendrait 1, 2, 4, 8, 16, 32, où chaque nombre est obtenu en multipliant le précédent par 2.  

 

Et si on veut tester vos capacités intellectuelles en vous demandant le nombre qui vient après 1, 2, 3, 4, ne répondez pas 10 sous prétexte que 1 + 2 + 3 + 4 = 10, faites comme tout le monde, dites que c'est 5 ... mais méfiez-vous des généralisations hâtives !

Moralité : en mathématiques, tant que la règle n'a pas été donnée... vous pouvez choisir la règle. Et vous pouvez compléter les suites qu'on vous propose par ... ce que vous voulez. Mais celui qui vous teste ne le sait peut-être pas, hélas.