Le théorème de Pythagore est probablement le théorème le plus connu, et souvent il ne nous reste en mémoire que cette formule : « dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ». Un simple dessin permet de mieux comprendre ce que nous dit vraiment ce théorème : la somme des nombres de cases des deux plus petits échiquiers (3²+4²) est égale au nombre de cases du grand échiquier (5²).

Il existe de très nombreuses preuves de ce théorème : en 1940, E. S. Loomis en a regroupé 370 dans un livre intitulé The pythagorean Proposition. Six d’entre elles font l’objet des animations ci-dessous. Attention ! Ces exemples visuels ne permettent pas à eux seuls de prouver le théorème. Tout au plus, ils permettent de  rappeler les grandes étapes de chacune des six démonstrations choisies.

 

 

Les témoignages écrits les plus anciens dont on dispose (tablettes d’argile à Babylone, papyrus égyptiens) datent d’environ 2000 ans avant J-C et font déjà état de résultats assez sophistiqués. Ainsi la tablette Plimpton 322, conservée à l’Université de Columbia donne une liste de 15 triangles « pythagoriciens », c’est-à-dire des triangles rectangles dont les trois côtés sont entiers : (3, 4, 5) ou (65, 72, 97) par exemple, ce qui montre que les Babyloniens, plus de 1000 ans avant Pythagore, connaissaient déjà "son" théorème (au moins dans certains cas) !

Cependant, les textes disponibles ne donnent aucune justification, pas la moindre démonstration que les résultats sont justes (quand ils le sont !), ni d'indication permettant de savoir comment ils ont été découverts. La notion de démonstration est due aux Grecs (environ 300 av J-C) et est systématiquement utilisée dans les Éléments d’Euclide : après Euclide il ne suffit plus de découvrir des résultats mathématiques, ce qui est évidemment très important, et éventuellement de s'en servir, il faut de plus donner une démonstration, une preuve qui explique au reste du monde que le résultat découvert est vrai. On obtient alors un théorème. (Un énoncé sans démonstration est une conjecture.)

Il existe souvent plusieurs façons, reposant sur des idées différentes, de démontrer un même résultat. De plus, la longueur d'une démonstration est variable — certaines prennent plusieurs centaines de pages — le nombre d'arguments utilisés aussi, et sa rédaction précise peut être longue et difficile. Cependant, dans certains cas, le ressort de la démonstration est très simple et visuel : c'est le cas dans les exemples qui suivent, où nous montrons seulement l'idée qui sous-tend une démonstration possible. Si l'envie lui prend, le visiteur pourra transformer cette idée en démonstration rédigée.