La symétrie est la propriété d’un objet de rester inchangé sous l’effet d’une transformation géométrique. Elle est aussi la transformation géométrique en question.

Souvent, un objet possède plusieurs symétries. Chaque objet a son «groupe de symétrie» et des objets très différents peuvent avoir le même groupe. Ainsi, définir les symétries d’un objet permet de le regrouper avec d’autres objets ayant les mêmes symétries.

C’est aussi un moyen de réduire son étude à celle de l’une de ses parties. Par exemple, un carré présentant un centre de rotation d’ordre 4 peut être divisé en quatre parties identiques.

Ordre 3, ordre 5

" La mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes"

Henri Poincaré, mathématicien français (1854-1912)

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© eppdcsi / Chantal Rousselin

Groupe de symétrie

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© eppdcsi / Guillaume Reuiller

Chaque objet, ou phénomène présentant des symétries, a son groupe de symétrie. Ce groupe est l’ensemble de ses symétries et la description des interactions qui existent entre elles.

 

EN SAVOIR +

"Vous avez dit "symétries" ?"
Article de Guillaume Reuiller dans la revue Découverte n°386 (mai-juin 2013), pages 40-43.
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Dodécaèdre et icosaèdre réguliers

Dodécaèdre et icosaèdre réguliers (image avec légende)
© eppdcsi / Chantal Rousselin

L’étude de la symétrie a commencé dès l’Antiquité grecque avec celle des cinq polyèdres réguliers. Parmi eux, le dodécaèdre, avec 12 faces pentagonales, et l’icosaèdre formé de 20 faces triangulaires,  peuvent sembler très différents. Pourtant, ils admettent les mêmes symétries, au nombre de 120. Mieux encore, ces deux formes sont « duales » : on peut passer de l’une à l’autre en échangeant le rôle des faces et des sommets.

Quelles sont ses symétries ?

Quelles sont ses symétries ? (image avec légende)
© eppdcsi / Chantal Rousselin

Une forme plane présente des symétries si elle reste inchangée sous l’effet d’au moins une transformation géométrique. Cette transformation peut être, entre autres, une réflexion autour d’un axe, une rotation autour d’un centre ou encore, pour un pavage, une translation.

Tourner, c’est réfléchir deux fois

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Dans le plan, une rotation peut être remplacée par un enchaînement de deux réflexions. A condition que les axes des réflexions passent par le centre de rotation et forment un angle deux fois plus petit que celui de la rotation.
De même, une translation peut se décomposer en deux réflexions dont les axes seront, cette fois, parallèles. Les réflexions sont donc des symétries « de base » qui permettent de construire d’autres symétries.