Les artistes du monde arabe sont célèbres pour réaliser des fresques aux motifs purement géométriques, telles celles des Palais de l’Alhambra construits du 8ème au 15ème siècle en Andalousie. Cette activité a été, dès cette époque, source d’échanges fructueux entre les artistes et les mathématiciens comme Abu’I-Wafa (940-998). Aujourd’hui, dans certaines fresques du monde arabe, des spécialistes de cet art voient aussi des structures quasi-périodiques, que les mathématiciens n’ont pourtant caractérisées que récemment.

Entre ordre et désordre

(Œuvre de Jean-Marc Castera)

(image avec légende)
© eppdcsi / Chantal Rousselin

Pour construire ce décor mural, à chaque étape, des carrés, losanges et demi-carrés à échelle réduite ont été substitués aux carrés et losanges initiaux.

En outre, deux demi-carrés doivent toujours reformer un carré.

Les pièces qui le composent et certains extraits sont symétriques. Mais il n’y a pas de symétrie globale. Nous sommes ici dans un monde intermédiaire entre ordre et désordre, un monde quasi-périodique.

Les trois images présentes sur la fresque témoignent de liens étroits entre ce motif et l’art traditionnel arabo-andalou.

 

BONUS

"Entre ordre et désordre" vu par son créateur


Quasi-périodique ?

(image avec légende)
© eppdcsi / Chantal Rousselin

Les pavages d’Ammann-Beenker, composés de carrés et de losanges, ont la propriété d’être quasi-périodiques. Explorez leur mode de construction et découvrez la quasi-périodicité.

EN SAVOIR +

"Comment je ne suis pas devenu prix Nobel - Histoire de quasi-cristaux"
Article de Bernard Maitte dans Les nouvelles d’Archimède (avril-mai-juin 2012) Disponible en ligne

"Regards sur l'arabesque"
Article de Jean-Marc Castéra dans Pour la science, n°299, septembre 2002, pages 104 et 105.
Commander ce numéro

"Pavages"
Page web de Fernando Alcalde sur le site Images des mathématiques.
Disponible en ligne

Paver par homothétie

(image avec légende)
© eppdcsi / Chantal Rousselin

Les pièces de ce puzzle sont inspirées des zelliges, céramiques des fresques du monde arabe.
Chaque pièce peut être reproduite en plus grand à l’aide des autres pièces. Et ainsi de suite jusqu’à l’obtention d’un pavage.
La pièce d’origine et la pièce obtenue après grandissement ont la même forme et les mêmes symétries : la transformation géométrique opérée ici est une homothétie.
Au dos des pièces se retrouve la composition de carrés et de losanges de la fresque murale.
(Motif de Jean-Marc Castera)

Paver cest contraignant !

(image avec légende)
© eppdcsi / Chantal Rousselin

Paver un plan, c’est le recouvrir de motifs sans espace vide ni chevauchement. Moins simple qu’il n’y paraît ! Parmi l’infinité de polygones réguliers, il n’y en que trois qui, utilisés seuls, permettent de paver le plan de manière périodique : le triangle équilatéral, le carré et l’hexagone. Et si l’on utilise plusieurs polygones réguliers différents il n’y aura que 8 combinaisons possibles pour obtenir un pavage périodique. Et quel qu’il soit, le pavage périodique obtenu ne possédera pas d’autres symétries que celles d’ordre 2, 3, 4 ou 6. Ceci est vrai également pour les pavages périodiques dans l’espace, tels la plupart des cristaux.