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Paradoxalement, l’issue d’une expérience aléatoire peut être parfois certaine. Le magicien japonais Shigeo Futagawa en a tiré un tour de magie parfaitement inratable, qui fut popularisé ensuite par le journaliste américain Martin Gardner (1914-2010).
Par Guillaume Reuiller, médiateur scientifique, unité Mathématiques du Palais de la découverte

(Reprise de Découverte n° 428, mai-juin 2020, p. 70-71)

MATÉRIEL NÉCESSAIRE :
  • 4 cartes à fabriquer soi-même
  • un bout de papier
  • un stylo

Difficulté de l'expérience : 1 / 5 (à partir de 8 ans)
Niveau scientifique requis : 2 / 5
(à partir de 10 ans)
RessourcesJeunes (13-25 ans),Familles,Enseignants,Médiateurs,A partir de 8 ans,Enfants (2-12 ans)Mathématiques - physique - chimieDocument pédagogique

Fabriquez les quatre cartes de la figure 1, où les faces bleues sont au recto et les rouges au verso. Munissez-vous d’un papier et d’un stylo. Vous n’avez plus qu’à trouver un spectateur cobaye et vous voilà fin prêt à réaliser votre tour ! Donnez les quatre cartes à votre cobaye et demandez-lui de les disposer en ligne au hasard, sur leur recto ou leur verso. Pendant ce temps, inscrivez discrètement le nombre « 2 020 » sur un papier, que vous glisserez dans votre poche. Tant qu’il n’y a pas exactement deux versos et deux rectos visibles, invitez-le à continuer de mélanger les cartes, sans plus de précision. Dès que deux faces visibles sont bleues (fig. 2), faites-lui additionner les quatre nombres et sortez votre papier : le spectateur, médusé, pourra y lire la somme qu’il a obtenue !

Figure 1. Les quatre cartes du tour de magie, leur recto en bleu et leur verso en rouge. Quelles propriétés possèdent-elles ? © Universcience.

Figure 2. Exemple de disposition « acceptable » que peut proposer le spectateur cobaye. Quelle est la somme des quatre nombres ainsi visibles ? © Universcience.

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Le dessous des cartes

Vous l’aurez compris : la propriété de ces cartes numériques est telle que, si vous additionnez deux faces bleues quelconques aux deux faces rouges restantes, le résultat vaut toujours 2 020. Comment ont-elles été fabriquées ? Toute l’astuce repose sur la relation entre les nombres au recto et au verso d’une même carte. En les regardant très attentivement, vous avez observé peut-être que la différence entre le nombre sur une face rouge et celui sur la face bleue opposée vaut toujours 178. Le secret de ce tour réside dans l’emploi de grands nombres, qui rendent cette observation difficile (fig. 3).

Figure 3. Ici, nous avons ajouté 10 à chaque face bleue pour obtenir les faces rouges. N’importe quelle disposition où deux rectos de carte bleus sont remplacés par leur verso rouge donnera une somme de 1 + 2 + 3 + 4 + 10 + 10 = 30. © Universcience.

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La somme des nombres sur les faces bleues vaut : 323 + 292 + 464 + 585 = 1 664. Il faut ajouter 356 à cette somme pour qu’elle soit fidèle à la « prédiction » de 2 020. Ajoutons la moitié de ce qui manque (c’est-à-dire 356 / 2 = 178) à chacun de ces nombres pour obtenir ceux sur leur verso : nous sommes sûrs alors que la somme des nombres sur deux faces rouges quelconques et sur les deux faces bleues restantes est égale à 323 + 292 + 464 + 585 + 2 × 178 = 2 020.

La chance va-t-elle vous sourire ?

Il est assez frustrant d’être obligé de demander au spectateur de mélanger plusieurs fois les cartes. Est-ce que cela risque d’arriver souvent ? Il y a quatre cartes, dont la face présentée de chacune est soit bleue soit rouge : cela implique 2 × 2 × 2 × 2 = 16 placements en ligne différents possibles. Parmi eux, six montrent deux cartes rouges et deux cartes bleues (fig. 4). Cela nous fait donc une probabilité de six chances sur seize, soit trois chances sur huit seulement, qu’une disposition au hasard des quatre cartes soit moitié rouge et moitié bleue. Bref, dans plus de la moitié des cas en moyenne, il faudra que le spectateur continue de les mélanger…

Figure 4. Si la face de la première carte obtenue est bleue, il existe trois positions différentes possibles pour la deuxième carte dont la face est bleue, les autres étant nécessairement rouges. De même si la face de la première carte obtenue est rouge : cela nous fait donc six placements de quatre cartes possédant exactement deux cartes de la même couleur. © Universcience.

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À vous de jouer !

Si le tour vous semble un peu trop « transparent » à cause de l’identification des faces par des couleurs, une solution est d’uniformiser toutes les faces des cartes. Mais alors comment faire en sorte que la somme des quatre nombres visibles in fine soit quand même toujours égale à 2 020 ? Les nombres placés sur les faces bleues sont des palindromes (ils se lisent identiquement de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche) : ils sont donc reconnaissables facilement et permettent de distinguer aisément les rectos des versos ! Le magicien a juste à attendre que deux nombres palindromes exactement soient visibles.
Vous voulez fabriquer des cartes donnant une autre somme S que 2 020 ? Commencez par noter sur le verso des cartes quatre nombres palindromes dont la somme s est plus petite que S. Calculez la différence S – s entre les deux sommes ; si cette dernière est impaire, modifiez les quatre nombres sur les cartes pour qu’elle ne le soit plus, et divisez-la par deux. Il suffit d’ajouter alors ce résultat aux nombres au verso pour obtenir les nombres au recto des quatre cartes. G. R.



  • POUR ALLER PLUS LOIN

Le tour des 27 cartes / Les petites découvertes n° 66