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Des questions fondamentales peuvent venir à l’esprit en épluchant une pomme de terre. Entre recherche d’efficacité et esthétisme, voici quelques réflexions qui devraient vous occuper lors de la prochaine corvée.
Par Robin Jamet, médiateur scientifique, unité Mathématiques du Palais de la découverte

(Reprise de Découverte n° 416, mai-juin 2018, p. 64-65)

MATÉRIEL NÉCESSAIRE :
  • des pommes de terre
  • un économe

Difficulté de l'expérience : 1 / 5
(à partir de 6 ans avec un adulte)
Niveau scientifique requis : 1 / 5 (à partir du lycée)

La lame de l’économe est droite, alors que la pomme de terre est courbe partout. Le passage de l’économe laisse des parties plus « plates », obtenues en déplaçant un segment de droite, en l’occurrence la lame de l’économe, sur la surface de la patate. Ce genre de surface est une surface réglée, dont le cylindre nous offre un autre exemple (fig. 1).

(image avec légende)
©R. Jamet/ Universcience.

Figure 1. Les parties « plates » de cette pomme de terre épluchées sont des surfaces réglées : elles peuvent être obtenues, comme le cylindre ou le cône, en déplaçant continûment un morceau de droite.

Du courbe avec du plan

Pourquoi est-ce plus facile d’éplucher une patate à certains endroits plutôt qu’à d’autres ? Cela provient du fait qu’elle n’est pas courbe « de la même façon » partout. Les mathématiciens ont introduit des définitions précises de cette notion de courbure : sur une courbe plane, la méthode retenue est de chercher le cercle s’en rapprochant au mieux en un point donné (fig. 2). Plus la courbe est… courbe, plus le cercle en question, et donc son rayon, est petit : la courbure est égale à l’inverse du rayon de ce cercle.

(image avec légende)
©R. Paillard/ Universcience.

Figure 2. Une courbe plus ou moins courbée…

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À la limite, si la courbe ne tourne pas du tout, le cercle s’en approchant le mieux n’est plus un cercle mais une droite… soit un cercle de rayon infini : la courbure est alors nulle ! Pour une surface, cela se complique, puisqu’elle peut être « différemment courbe » selon les directions considérées…

Cette première définition permet cependant déjà de mieux comprendre la différence entre le corps de la patate, proche d’un cylindre, et ses extrémités, qui ressemblent plus à des demi-sphères. Si vous épluchez préférentiellement une patate d’un « bout » vers l’autre, c’est bien parce que la courbure suivant cette direction est quasi nulle, ce qui permet d’enlever de grands morceaux de peau sans avoir à tourner la patate. À l’inverse, les extrémités sont courbées autant (ou presque) dans toutes les directions et n’offrent donc pas une telle possibilité.

Éplucher « tout droit »

Notez qu’en enlevant de telles bandes de peau, il semble que l’on aille à peu près tout droit sur la patate, c’est-à-dire que l’on suit une géodésique : l’un des chemins « les plus courts » entre deux points. Si sur un plan le chemin le plus court entre deux points est unique, la ligne droite, sur une autre surface il peut y en avoir plusieurs, et ce sont les trajectoires les moins courbes. Les géodésiques sur Terre sont de « grands cercles » dont le centre est au centre de la Terre (fig. 3) : les plus grands, donc les moins courbes. Sur une patate, c’est un peu plus complexe. Intuitivement, la méthode « efficace » pour éplucher une patate revient à éviter les trajectoires trop courbées et donc à prendre des morceaux de tels trajets.

(image avec légende)
© R. Paillard / Universcience.

Figure 3. Pour suivre un parallèle, il faut tourner d’autant plus que l’on est proche du pôle. À l’inverse, suivre l’équateur ou un méridien revient à avancer « tout droit ».

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Mais « aller tout droit » peut signifier aussi « garder le cap », voyager en suivant toujours la même direction sur une boussole. Épluchons une patate ainsi. Si vous suivez l’une des quatre directions cardinales (nord, sud, est ou ouest), vous reviendrez à votre point de départ après avoir effectué une boucle, plus ou moins grande (fig. 4). Sauf exception (l’« équateur » ou un « méridien » de la patate), il ne s’agit pas d’une géodésique. Si la direction est autre, vous suivrez une trajectoire en spirale. En partant, par exemple, du pôle Nord de la patate et en suivant un angle ouest/sud/ouest bien choisi, vous reviendrez juste en dessous de votre point de départ au bout d’un tour de patate (fig. 5). En poursuivant votre chemin, passage après passage, vous parviendrez à la peler intégralement en enlevant un seul morceau en spirale (fig. 6).

(image avec légende)
© R. Jamet / Universcience.

Figure 4. Si vous partez d’un point quelconque vers l’ouest, vous suivrez un « parallèle » de la pomme de terre et reviendrez donc à votre point de départ en tournant toujours un peu, car vous ne suivez pas une géodésique.

(image avec légende)
© R. Jamet / Universcience.

Figure 5. « Loxodromie » : la trajectoire suivie consiste à naviguer en conservant toujours le même angle par rapport à l’axe nord/sud, à cap constant.

(image avec légende)
© R. Jamet / Universcience.

Figure 6. La spirale obtenue : vous observez bien que vous tournez de moins en moins, puis de plus en plus dans l’autre sens. Au passage de l’équateur, la trajectoire est presque une géodésique.

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À proximité de l’équateur, cette trajectoire est très proche de la géodésique. C’est pourquoi les navigateurs voyageant dans des zones proches de l’équateur et sur des distances assez courtes peuvent naviguer à cap constant, ce qui serait absurde à proximité du pôle Nord ! Ce rapprochement momentané des deux types de trajectoires s’explique par un autre phénomène observable : pour garder le cap, le matelot tourne de moins en moins au fur et à mesure qu’il s’approche de l’équateur. Sitôt celui-là passé, il tourne progressivement de plus en plus dans l’autre direction. Ce que vous ressentez en épluchant une patate en spirale : la position du poignet change et à la fin vous tournez dans « l’autre sens » !