Prenez un fil de fer et tordez-le pour en faire un contour fermé. Plongez-le dans de l’eau savonneuse et observez la forme du film de savon qui s’appuie sur ce fil de fer. L’élasticité du film de savon l’oblige à prendre une forme dont l’aire soit la plus petite possible : c’est une surface minimale. En voici un exemple célèbre, l’hélicoïde.

Une surface minimale peut être faite de morceaux plans. Mais là où elle n’est pas plane, elle ne peut pas être arrondie simplement comme une sphère : une partie en forme de calotte sphérique pourrait être remplacée par un disque, plat, et la surface obtenue serait d’aire plus petite. On voit ici que lorsque le quadrilatère articulé est plan, le film de savon aussi, mais lorsqu’on déforme le quadrilatère, le film se courbe dans deux directions opposées, et prend une forme de selle de cheval, ou de col de montagne.

Pour un contour donné, on a envie de dire que la surface simulée par le film de savon serait “ la ” surface minimale qui s’appuie sur ce contour. Mais il n’y a pas forcément qu’une seule surface qui s’appuie sur un contour donné et qui est d’aire minimale. Voici un exemple : si on plonge un cube dans de l’eau savonneuse, il y a trois surfaces minimales stables qui peuvent s'appuyer sur ce contour. Jean Brette vous les montre en soufflant sur le film de savon pour passer de l’une à l’autre.

Le problème qui consiste à chercher la ou les surfaces minimales qui s'appuient sur un contour donné est appelé le “ problème de Plateau ”, du nom du physicien Joseph Plateau qui l'étudia au 19ème siècle.
fr.wikipedia.org/wiki/Joseph_Plateau

Voici un autre exemple avec un bout de fil électrique auquel on fait prendre sensiblement la forme de la courbe qui apparaît sur les balles de base-ball. Cette fois-ci il y a deux solutions au problème de Plateau.

Un exemple célèbre de surface minimale avec deux cercles : la caténoïde. Mais si les deux cercles sont trop loin l’un de l’autre, le film “ éclate ” pour prendre la forme des deux disques.

Pourquoi le film de savon épouse-t-il la forme d’une surface minimale ? Le film de savon est en fait constitué d'une couche d’eau coincée entre deux couches très fines de savon. L’eau a une tension superficielle très importante, ce qui l’amène à prendre une forme dont l'aire est la plus petite possible et le savon l'empêche d'éclater.

Dans l'exemple suivant, où un film de savon s’appuie sur un rectangle incliné de longueur variable, la tension du film est supérieure à la composante du poids de la tige sur le plan incliné, tant que le rectangle n’est pas trop incliné.

On pourrait utiliser d’autres fluides que l’eau savonneuse. Ici c’est de la paraffine qui prend la forme d’une surface minimale en refroidissant. Le résultat dure plus longtemps qu’un film de savon, mais la manipulation aussi.

En architecture, les surfaces minimales ont l’avantage de faire apparaître les contraintes mécaniques les moins fortes. Voici reconstituée en film de savon une réalisation de Otto Frei.

L’exposition “ Patrice Jeener explore les mathématiques ” montre bien d’autres surfaces minimales.