Somme des angles d'un triangle sphérique
Nous avons tous appris, dès le plus jeune âge, que la somme des angles d'un triangle ... vaut 180°. Oui mais les astronomes et les navigateurs savent depuis longtemps que leurs droites sont souvent tracées sur une sphère ; un triangle sur la sphère s'obtient par intersections deux à deux de trois grands cercles, qui jouent sur la sphère le rôle que jouent les droites sur le plan. Quelle est alors la somme des angles d'un triangle ?
| Si on peut voir un triangle plan comme ceci ... |  |
| on peut voir un triangle sphérique comme cela : |  |
| (( A partir de maintenant, il vous est recommandé de faire attention aux hypothèses implicites et trop rapides. )) Appelons S la somme des angles d'un triangle sphérique. Introduisons un point M à l'intérieur de ce triangle. |
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| En ce point M, la somme des angles (pris dans le plan tangent à la sphère) est clairement 360°. Ajoutons la somme des angles du triangle ABM avec celle du triangle BCM et celle du triangle CAM. On obtiendra forcément la somme des angles du triangle ABC augmentée de la somme des angles en M, dont on a déjà dit qu'elle vaut 360°. On obtient donc : |
| S + S + S = S + 360° 2 S = 360° |
| ce qui montre que S = 180°, et ce qui est contradictoire avec ce que l'on obtient facilement en considérant le bord d'une sphère coupée en huit parts égales : |
 | Ce triangle a bien l'air d'avoir trois angles droits, et donc une somme de ses angles égale à 270°. Alors, que se passe-t-il ? Où est l'erreur ? Vous ne trouvez pas ? |
| Voilà une explication rapide, et plus sérieuse que ce qui précède. Chacun des angles du triangle découpe une surface sur la sphère (comme deux tranches d'orange opposées l'une à l'autre) dont on peut calculer l'aire. |
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Cette surface a une aire proportionnelle à l'angle A. La sphère toute entière s'obtient avec un angle de π(en degrés : 180°). L'aire correspondant à l'angle A ( π) peut s'exprimer comme fraction de l'aire totale de la sphère (à savoir  , pour une sphère de rayon R) : |
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| On peut faire de même avec les angles B (π) et C (π); on aura ainsi couvert toute la surface de la sphère, et même un peu trop : les surfaces du triangle ABC et de celui qui lui est diamétralement opposé (et qui a la même aire) ont été comptées dans chacun des trois calculs. Mais pour obtenir l'aire de la sphère, ces deux triangles d'aire T n'auraient dû apparaître qu'une fois. On obtient l'aire de la sphère augmentée de quatre fois l'aire T du triangle ABC en faisant la somme : |
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| Les calculs se terminent facilement : |
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| Conclusion : les triangles sphériques voient la somme de leurs angles dépendre de leur taille. Non seulement la somme des angles n'est pas 180°, mais, en plus, elle n'est pas constante ! Pierre Audin |
| Remarque : quand l'aire du triangle est très petite, ce qui est le cas pour un triangle dessiné dans une feuille de format A4 à la surface d'une sphère de rayon 6400 km, la somme de ses angles est très voisine de π (en degrés : 180°). |
