La célèbre salle π

Lors de l’Exposition Universelle de 1937, le tout nouveau Palais de la découverte consacre une salle entière au nombre Pi et à ses 707 décimales d’alors.

Elles avaient été obtenues "à la main" par le calculateur William Shanks en 1873.

Malheureusement, seules 527 étaient correctes : il a fallu corriger les 180 dernières décimales de la salle en 1950.

Cette salle est vite devenue incontournable, et le nombre Pi est maintenant intimement lié à l'image du Palais de la découverte dans l'esprit des amoureux des mathématiques.  Normal, donc, que son site web vous raconte ce nombre, sous forme de questions / réponses.

 

Votre date d'anniversaire est-elle dans Pi  ?

Le nombre Pi est étudié depuis très longtemps (lire ci-dessous), mais garde encore quelques mystères… Par exemple, si les mathématiciens pensent qu’il est un nombre-univers, ils sont bien incapables de le démontrer ! En effet, il contiendrait dans ses décimales n'importe quelle séquence de chiffres : il suffirait juste d'aller assez loin pour la trouver ! Sans preuve de ce résultat étonnant, ils ne peuvent que vérifier cette hypothèse sur les 50 000 milliards de décimales calculées en janvier 2020...

Avant d'être mise en ligne, cette manipe interactive était présentée dans la salle Pi. Elle a été réalisée grâce au logiciel Matlab, à partir de la donnée des 200 millions premières décimales. Elle vous permet de chercher n'importe quelle séquence de chiffres, et vous précise combien de fois et à quels endroits elle a été trouvée. 

Des vérifications informatiques poussées montrent que toutes les séquences à 7 chiffres sont présentes au moins une fois dans les 200 millions premières décimales de Pi. Donc votre date d'anniversaire y figure (d'ailleurs, en moyenne, environ 200 fois). Mais pour trouver votre numéro de téléphone (10 chiffres) à coup sûr, il faudrait aller jusqu'à 250 milliards de décimales...

https://matlab.palais-decouverte.fr/webapps/home/session.html?app=PISearch

Cette application a été réalisée avec le soutien de MathWorks.

La fabuleuse histoire du nombre π

Comment a-t-on découvert le nombre Pi ? 

 

La longue histoire du nombre π commence bien avant qu'Euler ne rende populaire cette notation (due à William Jones en 1706), et même bien avant que π (rapport du périmètre au diamètre d'un cercle) ne soit considéré comme un nombre.

La quête du nombre π et de ses décimales accompagne toute l'histoire des nombres et de la compréhension des nombres entiers, décimaux, rationnels, irrationnels, algébriques, transcendants.

 

π a-t-il un nombre fini de décimales ou une infinité ? Sont-elles périodiques ?

Un nombre qui a un nombre fini de décimales est appelé... décimal. Il est alors forcément rationnel, c'est-à-dire qu'il  peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers. En effet, il suffit de le multiplier par la bonne puissance de 10 (10 ou 100 ou 1 000 ou 10 000 ou ...) pour décaler suffisamment la virgule et obtenir un nombre entier. Ainsi 3,14 x 100 = 314 donc 3,14 = 314/100.

L'écriture décimale d'un nombre rationnel a/b s'obtient en effectuant la division de a par b : il n'y a que b restes possibles (entre 0 et b-1) et l'opération s'arrête ou se reproduit indéfiniment. Donc un nombre rationnel a nécessairement une écriture décimale périodique. Ainsi 22/7 = 3,142857142857142857... a une période de longueur 6 : 142857.

A l'inverse, un nombre qui possède une écriture décimale périodique est nécessairement un nombre rationnel : en voici des exemples...

0,123123123123... = x ; 1000 x = 123,123123123123... = 123 + x donc x = 123/999 = 41/333.

0,99999... = x ; 10 x = 9,99999... = 9 + x donc x = 9/9 = 1 ; étonnant, non ? 0,99999... est ce qu'on appelle un développement impropre du nombre 1 (alors que 1,00000... est son développement propre).

Jean-Henri Lambert démontre en 1761 (par l'absurde) que π est un nombre irrationnel : il a donc une infinité de décimales, qui ne sont pas périodiques.

 

Si π n'est pas rationnel, peut-on au moins l'obtenir comme solution d'une équation pas trop compliquée ?

C'est le fameux problème de "la quadrature du cercle" : peut-on construire un segment de longueur π à la règle et au compas ? La reformulation du problème aboutit à la question "π est-il solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers" (ce qu'on appelle un nombre algébrique) ? La réponse est non : il fait partie de ce qu'on appelle "les nombres transcendants".

C'est sur lui que les mathématiciens s'acharnèrent à démontrer la transcendance, mais ce n'est pas le premier nombre transcendant à avoir été trouvé : il s'agit du nombre e, confirmé comme nombre irrationnel, puis transcendant, avant π. e est "la base" des logarithmes népériens (fonction au programme de la classe de terminale). On a donc ln e = 1. On peut aussi le définir comme la somme de la série 1/n!, ce qui permet de montrer qu'il n'est pas rationnel. Il est transcendant comme π et bien d'autres, comme le montre Cantor (1874) dont le résultat peut surprendre : "presque tous les nombres, définis par leur écriture décimale, sont transcendants."

π n'est donc pas une exception : c'est la règle générale ! Ce sont les nombres entiers, les nombres décimaux, finalement ceux qu'on a l'impression de bien connaître, qui sont les exceptions !

* Qu'est-ce qu'une valeur exacte, une valeur approchée, un encadrement d'un nombre ?

* Qu'est-ce que le développement décimal / le développement en binaire d'un nombre réel ?

* Qu'est-ce que i ?

* Les décimales de pi sont-elles aléatoires ? Qu'est-ce que ça signifierait ?