La célèbre salle π

Lors de l’Exposition Universelle de 1937, le tout nouveau Palais de la découverte consacre une salle entière au nombre Pi et à ses 707 décimales d’alors.

Elles avaient été obtenues "à la main" par le calculateur William Shanks en 1873.

Malheureusement, seules 527 étaient correctes : il a fallu corriger les 180 dernières décimales de la salle en 1950.

Cette salle est vite devenue incontournable, et le nombre Pi est maintenant intimement lié à l'image du Palais de la découverte dans l'esprit des amoureux des mathématiques.  Normal, donc, que son site web vous raconte ce nombre, sous forme de questions / réponses.

 

La fabuleuse histoire du nombre π

Comment a-t-on découvert le nombre Pi ? 

 

La longue histoire du nombre π commence bien avant qu'Euler ne rende populaire cette notation (due à William Jones en 1706), et même bien avant que π (rapport du périmètre au diamètre d'un cercle) ne soit considéré comme un nombre.

La quête du nombre π et de ses décimales accompagne toute l'histoire des nombres et de la compréhension des nombres entiers, décimaux, rationnels, irrationnels, algébriques, transcendants.

 

π a-t-il un nombre fini de décimales ou une infinité ? Sont-elles périodiques ?

Un nombre qui a un nombre fini de décimales est appelé... décimal. Il est alors forcément rationnel, c'est-à-dire qu'il  peut s'écrire comme le quotient de deux nombres entiers. En effet, il suffit de le multiplier par la bonne puissance de 10 (10 ou 100 ou 1 000 ou 10 000 ou ...) pour décaler suffisamment la virgule et obtenir un nombre entier. Ainsi 3,14 x 100 = 314 donc 3,14 = 314/100.

L'écriture décimale d'un nombre rationnel a/b s'obtient en effectuant la division de a par b : il n'y a que b restes possibles (entre 0 et b-1) et l'opération s'arrête ou se reproduit indéfiniment. Donc un nombre rationnel a nécessairement une écriture décimale périodique. Ainsi 22/7 = 3,142857142857142857... a une période de longueur 6 : 142857.

A l'inverse, un nombre qui possède une écriture décimale périodique est nécessairement un nombre rationnel : en voici des exemples...

0,123123123123... = x ; 1000 x = 123,123123123123... = 123 + x donc x = 123/999 = 41/333.

0,99999... = x ; 10 x = 9,99999... = 9 + x donc x = 9/9 = 1 ; étonnant, non ? 0,99999... est ce qu'on appelle un développement impropre du nombre 1 (alors que 1,00000... est son développement propre).

Jean-Henri Lambert démontre en 1761 (par l'absurde) que π est un nombre irrationnel : il a donc une infinité de décimales, qui ne sont pas périodiques.

 

Si π n'est pas rationnel, peut-on au moins l'obtenir comme solution d'une équation pas trop compliquée ?

C'est le fameux problème de "la quadrature du cercle" : peut-on construire un segment de longueur π à la règle et au compas ? La reformulation du problème aboutit à la question "π est-il solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers" (ce qu'on appelle un nombre algébrique) ? La réponse est non : il fait partie de ce qu'on appelle "les nombres transcendants".

C'est sur lui que les mathématiciens s'acharnèrent à démontrer la transcendance, mais ce n'est pas le premier nombre transcendant à avoir été trouvé : il s'agit du nombre e, confirmé comme nombre irrationnel, puis transcendant, avant π. e est "la base" des logarithmes népériens (fonction au programme de la classe de terminale). On a donc ln e = 1. On peut aussi le définir comme la somme de la série 1/n!, ce qui permet de montrer qu'il n'est pas rationnel. Il est transcendant comme π et bien d'autres, comme le montre Cantor (1874) dont le résultat peut surprendre : "presque tous les nombres, définis par leur écriture décimale, sont transcendants."

π n'est donc pas une exception : c'est la règle générale ! Ce sont les nombres entiers, les nombres décimaux, finalement ceux qu'on a l'impression de bien connaître, qui sont les exceptions !

* Qu'est-ce qu'une valeur exacte, une valeur approchée, un encadrement d'un nombre ?

* Qu'est-ce que le développement décimal / le développement en binaire d'un nombre réel ?

* Qu'est-ce que i ?

* Les décimales de pi sont-elles aléatoires ? Qu'est-ce que ça signifierait ?