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Expériences et manips
Cabinet de curiosités Mathématiques

L'analyse de Fourier à la carte

Résumons l’analyse de Fourier : l’idée est de retrouver dans un objet (ici un volume) ses constituants élémentaires, ainsi que leurs proportions (ici les nombres d'exemplaires des faces dans leurs différentes couleurs). © G. Reuiller / EPPDCSI.

L’analyse de Fourier est un outil mathématique mis au point au XVIIIe siècle pour résoudre à l’origine des problèmes de physique. Elle s’est, depuis, largement développée et diversifiée, sous le nom plus général d’analyse harmonique. Son champ de recherche est encore vaste et les applications pratiques ne se comptent plus, des géosciences à la musique, en passant par le traitement de l’image ou encore la physique quantique.

Qu'il s'agisse d'images, de sons ou d’autres objets d’étude, l’idée est de trouver un ensemble d'éléments particulièrement simples (une base) permettant de reconstituer n’importe quel objet.

Prenons l’exemple assez intuitif des couleurs. Si une couleur correspond à l’objet complexe, les couleurs primaires (rouge, vert et bleu pour chaque pixel dans le système RVB des ordinateurs) sont les éléments simples, la base qui permet de coder n’importe quelle couleur. Il suffit pour cela d’indiquer les « dosages » de chaque couleur primaire (les coefficients) : ce sont des valeurs entières comprises entre 0 et 255 pour les pixels (voir la figure 1 ou cette animation qui représente l'espace colorimétrique RVB sous la forme d'un cube).

Couleurs exprimées dans la base RVB. Le rouge est composé de 255 pixels de rouge, 0 pixel de vert, 0 pixel de bleu. Le mauve est composé de 150 pixels de rouge, 131 pixels de vert, 236 pixels de bleu.
Figure 1. Codage de quatre couleurs dans la base RVB (rouge vert bleu). © S. Coudry.

Le mathématicien et physicien français Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) a eu cette idée dans un cadre très différent : l’étude physique de la diffusion de la chaleur. Sans rentrer dans les détails, il montre alors que toute fonction périodique (qui se répète) peut s’écrire comme somme de fonctions particulièrement simples : des sinus.
La figure 2 montre intuitivement ce que cela signifie : la fonction plus ou moins complexe en blanc en haut est obtenue en additionnant toutes les fonctions simples en rouge au-dessous.

Exemple de sommes progressives de plusieurs sinusoïdes (1 à 4), le résultat se complexifiant au fur et à mesure.
Figure 2. Codage de quatre fonctions (en blanc) dans une base de quatre fonctions sinusoïdales (en rose). © S. Coudry.

Pour reprendre les mots de Fourier :

Ce mouvement peut toujours être décomposé en plusieurs autres dont chacun s'accomplit comme s'il avait lieu seul. Cette superposition des effets simples est un des éléments fondamentaux de la théorie de la chaleur.


Cette idée se retrouve dans un grand nombre de situations, où le choix de bons éléments de base et de leur dosage permet de reconstituer un objet complexe, souvent de façon unique. Il y a un dosage, et un seul, qui permet d’obtenir un violet particulier à partir des couleurs RVB, une et une seule combinaison de sinus qui permet de reconstituer une fonction périodique précise.

Cette décomposition permet, suivant les situations :

  • d’analyser ce qui constitue cet objet complexe et de le décrire précisément (par exemple, repérer les ondes principales d’un tremblement de terre) ;
  • d'en réduire sa taille, en ne gardant que les éléments principaux, suffisants pour reconstituer l’objet de façon satisfaisante (par exemple, compresser des images) ;
  • de « nettoyer » des images ou du son, en enlevant les éléments qui ne sont pas liés à la forme principale qui nous intéresse (le bruit, les parasites).

Voyons quelques exemples, afin de développer une meilleure intuition de ce que tout cela signifie.