Les symétries des cinq solides de Platon - Cabinet de curiosités Mathématiques - Expériences et manips - Explorer nos contenus

Qu’est-ce qu’un solide de Platon ?

Le triangle, le rectangle et le pentagone sont des exemples de polygones. Lorsque leurs côtés sont de même longueur et leurs angles de même mesure, on dit qu’ils sont réguliers. C’est le cas du triangle équilatéral, du carré et du pentagone…régulier.

Un polyèdre est appelé "solide de Platon" si toutes ses faces sont des polygones réguliers identiques, et s'il y a toujours le même nombre de faces autour de chaque sommet. Il faut aussi qu'il soit convexe, c'est-à-dire que l'on puisse le poser tout entier sur un plan contenant n'importe laquelle de ses faces.

Ces règles sont très contraignantes et seuls 5 polyèdres les vérifient : le tétraèdre régulier, le cube (que l’on pourrait appeler hexaèdre régulier), l'octaèdre régulier, le dodécaèdre régulier et l'icosaèdre régulier. Voici leurs compositions et leurs symétries.

Composition et symétries du tétraèdre régulier

Faces	4 faces, qui sont toutes des triangles équilatéraux
Sommets	4 sommets, qui sont tous communs à 3 faces
Arêtes	6 arêtes (3 par face, toutes communes à deux faces)
Axes de rotation	Les 4 hauteurs (droites perpendiculaires à une face et passant par son sommet opposé). Ce sont des axes d’ordre 3.
Axes de rotation	Les 3 droites joignant les milieux des arêtes opposées. Ce sont des axes d’ordre 2.
Plans de symétrie	Les 6 plans passant chacun par une arête et le milieu de l’arête opposée.
Groupe de symétries	24 éléments : - 12 rotations (dont l'identité), - 12 "anti-rotations", qui résultent de l'enchainement d'une de ces 12 rotations avec cette symétrie centrale. Parmi elles, il y a 6 réflexions.

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Composition et symétries du cube

Faces	6 faces, qui sont toutes des carrés
Sommets	8 sommets, qui sont tous communs à 3 faces
Arêtes	12 arêtes (4 par face, toutes communes à deux faces)
Axes de rotation	Les 4 diagonales (droites joignant deux sommets opposés). Ce sont des axes d'ordre 3.
	Les 3 droites joignant les centres de deux faces opposées. Ce sont des axes d’ordre 4.
	Les 6 droites joignant les milieux de deux arêtes opposées. Ce sont des axes d'ordre 2.
Plans de symétrie	Les 3 plans parallèles à deux faces opposées et passant par le centre du cube.
Plans de symétrie	Les 6 plans contenant deux arêtes opposées.
Centre de symétrie	Le centre du cube, situé à l'intersection des 4 diagonales. C’est aussi le point d’intersection de tous les axes de rotation et plans de symétrie.
Groupe de symétries	48 éléments : - 24 rotations (dont l'identité), - 24 "anti-rotations" (dont 1 symétrie centrale), qui résultent de l'enchainement d'une de ces 24 rotations avec cette symétrie centrale. Parmi elles, il y a 9 réflexions.

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Composition et symétries de l'octaèdre régulier

Faces	8 faces, qui sont toutes des triangles équilatéraux
Sommets	6 sommets, qui sont tous communs à 4 faces
Arêtes	12 arêtes (3 par face, toutes communes à deux faces)
Axes de rotation	Les 3 diagonales (droites joignant deux sommets opposés). Ce sont des axes d'ordre 4.
	Les 4 droites joignant les centres de deux faces opposées. Ce sont des axes d’ordre 3.
	Les 6 droites joignant les milieux de deux arêtes opposées. Ce sont des axes d'ordre 2.
Plans de symétrie	Les 3 plans qui passent par deux arêtes opposées (ils contiennent alors 4 arêtes formant un carré).
Plans de symétrie	Les 6 plans passant par deux sommets opposés et les milieux de deux arêtes opposées.
Centre de symétrie	Le centre de l’octaèdre, situé à l'intersection des 3 diagonales. C’est aussi le point d’intersection de tous les axes de rotation et plans de symétrie.
Groupe de symétries	48 éléments : - 24 rotations dont l'identité, - 24 "anti-rotations" (dont 1 symétrie centrale), qui résultent de l'enchainement d'une de ces 24 rotations avec cette symétrie centrale. Parmi elles, il y a 9 réflexions.

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Composition et symétries du dodécaèdre régulier

Faces	12 faces, qui sont toutes des pentagones réguliers
Sommets	20 sommets, qui sont tous communs à 3 faces
Arêtes	30 arêtes (5 par face, toutes communes à deux faces)
Axes de rotation	Les 10 diagonales (droites joignant deux sommets opposés). Ce sont des axes d'ordre 3.
	Les 6 droites joignant les centres de deux faces opposées. Ce sont des axes d’ordre 5.
	Les 15 droites joignant les milieux de deux arêtes opposées. Ce sont des axes d'ordre 2.
Plans de symétrie	Les 15 plans qui passent par deux arêtes opposées.
Centre de symétrie	Le centre du dodécaèdre, situé à l'intersection des 10 diagonales. C’est aussi le point d’intersection de tous les axes de rotation et plans de symétrie.
Groupe de symétries	120 éléments : - 60 rotations dont l'identité, - 60 "anti-rotations" (dont 1 symétrie centrale), qui résultent de l'enchainement d'une de ces 60 rotations avec cette symétrie centrale. Parmi elles, il y a 15 réflexions.

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Composition et symétries de l'icosaèdre régulier

Faces	20 faces, qui sont toutes des triangles équilatéraux.
Sommets	12 sommets, qui sont tous communs à 5 faces.
Arêtes	30 arêtes (3 par face, toutes communes à deux faces)
Axes de rotation	Les 6 diagonales (droites joignant deux sommets opposés). Ce sont des axes d'ordre 5.
	Les 10 droites joignant les centres de deux faces opposées. Ce sont des axes d’ordre 3.
	Les 15 droites joignant les milieux de deux arêtes opposées. Ce sont des axes d'ordre 2.
Plans de symétrie	Les 15 plans qui passent par deux arêtes opposées.
Centre de symétrie	Le centre de l’icosaèdre, situé à l'intersection des 6 diagonales. C’est aussi le point d’intersection de tous les axes de rotation et plans de symétrie.
Groupe de symétries	120 éléments : - 60 rotations dont l'identité, - 60 "anti-rotations" (dont 1 symétrie centrale), qui résultent de l'enchainement d'une de ces 60 rotations avec cette symétrie centrale. Parmi elles, il y a 15 réflexions.

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Un autre type de symétrie : la dualité

Regardez bien les tableaux du dodécaèdre et de l'icosaèdre : le nombre de faces de l'un est égal au nombre de sommets de l'autre… En fait, ces deux polyèdres sont dits "duaux" : ils jouent un rôle symétrique l'un par rapport à l'autre. Ce n'est donc pas un hasard s'ils ont le même nombre de symétries, de plans de symétrie ou d'axes de rotation. C'est la même chose pour le cube et l'octaèdre. Le tétraèdre, lui, est son propre dual…

EN SAVOIR PLUS

Publication en ligne de la Cellule de Géométrie de la HEH